Experimento Interactivo 11 de Física del Estado Sólido

Evolución temporal de electrones bajo campos eléctricos

El tratamiento semiclásico del movimiento de los electrones en los sólidos cristalinos bajo un campo eléctrico supone que el momento cristalino del electrón satisface la ecuación , siendo el campo eléctrico aplicado. Es claro que irá aumentando por efecto del campo eléctrico hasta que se cumpla la condición de Bragg para la difracción por la red, de forma que el electrón se refleja y cambia el sentido de su movimiento. Comienza entonces un movimiento periódico denominado oscilación de Bloch. Esto es válido siempre que el campo eléctrico no sea muy intenso de forma que pudiera existir una probabilidad finita de realizar una transición a otra banda.

Para estudiar la dinámica cuántica de un electrón en un cristal bajo la acción de un campo eléctrico vamos a tomar un modelo sencillo pero que mantenga la parte esencial de la física del problema. Este modelo es con mucha frecuencia un Hamiltoniano en la aproximación de enlace fuerte en una dimensión, a lo largo de la cual se aplica un campo eléctrico uniforme. El valor de la función de onda en cada posición atómica satisface la siguiente ecuación de Schrödinger discreta

(1)

donde es la energía del nivel atómico n-simo, T mide la intensidad del acoplamiento entre vecinos próximos, y E la magnitud del campo eléctrico. Supondremos que el electrón está inicialmente localizado en una única posición de la red cristalina n₀. Con esta condición inicial y las condiciones de contorno , donde N indica el número de átomos de la red cristalina, debemos resolver las ecuaciones del movimiento (1). Una magnitud que caracteriza adecuadamente la evolución del paquete de ondas en función del tiempo es el radio cuadrático medio, que nos proporciona una estimación de la dispersión de dicho paquete en el transcurso del tiempo. Dicho radio cuadrático medio se define como

(2)

Si tenemos una red monoatómica y periódica entonces todas las energías de los niveles atómicos son iguales, y eligiendo adecuadamente el origen de energías podemos tomar . En ausencia de campo eléctrico existe solución analítica del problema y se puede obtener así el radio cuadrático medio, que resulta ser cuando . Cuando se aplica un campo eléctrico también existen soluciones analíticas y, este caso, los estados estacionarios son localizados (niveles de Stark-Wannier). Esto conlleva la aparición de las ya mencionadas oscilaciones de Bloch, en las cuales el centroide del paquete de ondas oscila con un periodo igual a . Estas oscilaciones implican que el paquete no se expande uniformemente sino que permanece localizado en el espacio. Este fenómeno se conoce con el nombre de localización dinámica.

Desarrollo del ejercicio

Pulsando sobre el botón se accede a un programa que calcula y representa gráficamente el radio cuadrático medio (2), obtenido tras resolver (1), y la función de onda en función del tiempo, para un valor elegido del campo eléctrico E.