Experimento Interactivo 7 de Física del Estado Sólido

Ondas planas para el cálculo de estructuras de bandas

La ecuación de Schödinger para un electrón individual en un cristal monodimensional se escribe como (utilizaremos unidades tales que , de forma que la energía se mide en Rydbergs)

(1)

siendo k el momento cristalino del electrón. El potencial cristalino es periódico, con periodo L. Para calcular la estructura de bandas electrónica E(k) desarrollamos la función de onda del electrón en términos de ondas planas

(2)

donde k_l son los vectores de la red recíproca y N el número de celdas unidad del cristal. Los coeficientes b_l(k) son desconocidos. Llamando V(k_m) a las componentes de Fourier del potencial, la ecuación de Schrödinger se puede reescribir como

(3)

Usando el desarrollo (2) obtenemos

(4)

Conocidos los coeficientes de Fourier del potencial cristalino podemos hallar la relación de dispersión imponiendo que el determinante del sistema de ecuaciones (4) se anule.

Como ejemplo de aplicación vamos a considerar el potencial de Mathieu V(x) = V₀ cos(2x). Los dos únicos coeficientes de Fourier no nulos del potencial son V(k₊₂) = V(k_-2)= V₀/2 y los vectores del espacio recíproco son de la forma k_n=2n. Por tanto, la ecuación (4) se reduce en este caso a

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La matriz de los coeficientes es tridiagonal y, en consecuencia, fácil de diagonalizar numéricamente. Para ello hay que elegir un número finito de ondas planas en el desarrollo (2).

Desarrollo del ejercicio

Pulsando sobre el botón se accede a un programa que calcula y representa gráficamente E(k) para un número finito de ondas planas. Se pueden analizar los efectos de diversos valores de la constante V₀ y del número de ondas planas involucradas en el cálculo.