Experimento Interactivo 10 de Física Estadística

Estadísticas de Bosones y Fermiones

Las propiedades de simetría de la función de ondas de un conjunto de partículas conducen a comportamientos físicos muy diferentes incluso aunque no haya interacción entre las mismas. Los fermiones (partículas con espín semiimpar como los electrones, protones, neutrones, He, etc) son partículas descritas por una función de onda antisimétrica bajo las permutaciones de los argumentos de la función de onda. Como consecuencia de ello, no puede haber dos fermiones con los mismos números cuánticos. A este hecho se le llama principio de exclusión de Pauli. Por el contrario, los bosones (partículas con espín entero, como fotones, núcleos de He, etc o cuasi-partículas como fonones) están descritos por una función de onda simétrica que no impide que dos o más bosones ocupen estados con los mismos números cuánticos.

En la descripción estadística de estos sistemas se utiliza la colectividad macrocanónica, en la que se construye la función de macropartición para un sistema con niveles de energía , con como:

(1)

donde es el inverso de la temperatura y es el volumen. La variable es la fugacidad, que se determina por la condición de que el número de partículas ha de ser igual a: .

Las variables en la ecuación (1) varían entre 0 y el número máximo de partículas en el nivel -ésimo. Tenemos entonces que para fermiones, en aplicación del principio de exclusión de Pauli, cada nivel puede estar vacío () o contener 1 partícula (). No puede haber 2, 3, etc partículas. Sin embargo, para bosones, puede haber cualquier número de partículas, . Por tanto:

(2)

A partir de estas expresiones podemos calcular cuántas partículas en promedio hay en cada nivel, según:

(3)

Como es lógico en aplicación del principio de Pauli, la ocupación de un nivel en fermiones no puede ser nunca superior a 1, y ello está garantizado porque el denominador en (3.a) es siempre mayor que la unidad, debido al factor +1. Por el contrario, en el gas de bosones no hay esta restricción, y debido al factor -1 podemos encontrar ocupaciones (muy) superiores a la unidad.

El applet Java que presentamos realiza una simulación Monte Carlo de un sistema compuesto por bosones (izquierda) y fermiones (derecha) (la elección de los colores es totalmente arbitraria). Los niveles cuánticos están equiespaciados con distancia 1 en las unidades de la simulación, esto es, . Se puede variar el número de partículas de 0 a 20 y la temperatura de 0.1 a 10 (hemos tomado ). Pulsando los botones e se dibujan las ocupaciones de los niveles energéticos, que obedecen las ecuaciones (3.b) y (3.a) respectivamente.

Puede observarse que para temperaturas suficientemente bajas, los bosones se concentran en el estado fundamental, dando lugar a un pico en la ocupación de dicho nivel. Este fenómeno se conoce como condensación de Bose.

Por el contrario, los fermiones ocupan a temperaturas bajas los primeros niveles, con pocos saltos a niveles superiores. En nuestro caso, donde los niveles están equiespaciados comenzando con , el nivel de Fermi estaría situado en .