Experimento Interactivo 11 de Física Estadística
Modelo de Ising
El ferromagnetismo, que
aparece en muchos metales ordinarios
como el hierro y el níquel, es la presencia de magnetización espontánea incluso
cuando no hay campo magnético externo. Se debe a que una fracción
importante de los momentos magnéticos (o espines) de los átomos se alinean
en la misma dirección debido a la interacción entre los mismos,
dando lugar a que la muestra se imane.
Este alineamiento se produce únicamente a temperaturas bajas,
por debajo de una temperatura característica llamada
temperatura de Curie, 
. Por encima de dicha temperatura
los espines están orientados al azar, de forma que no hay
un campo magnético neto. En la temperatura de Curie, ,
como en toda transición, aparece una fenomenología diferente:
por ejemplo, el calor específico es divergente
y la energía y la magnetización tienen derivada discontínua.
El modelo de Ising es un modelo sencillo para el estudio de la
transición ferromagnética, que es resoluble analíticamente.
Se parte de una red regular, que imita la red cristalina del
hierro o níquel, en cuyos sitios se colocan un momento magnético
o espín 
que puede tomar los valores +1 ó -1. La energía de interacción
entre los espines 
y 
(supuesto que están en sitios contiguos de la red)
es de la forma:
en la que 
es la energía de interacción, supuesta positiva, 
. La forma del
hamiltoniano es tal que favorece que los espines estén alineados, porque si
entonces la energía disminuye en una cantidad .
Si existe un campo magnético externo, 
, los momentos magnéticos interaccionan
con él con una energía: 
.
El hamiltoniano total es entonces:
donde la notación
indica suma a espines contiguos.
¿Por qué se produce la transición de fase? Si sólo tuviéramos en cuenta la energía y tratáramos de minimizarla, entonces la fase del sistema sería una fase perfectamente ordenada, y, por tanto, ferromagnética. Sin embargo, existe el efecto de la temperatura que provoca un efecto aleatorio en el que los espines pueden cambiar su valor al azar. Este efecto es más alto cuánto más alta es la temepratura, y por ello, temperaturas altas dan lugar a fases desordenadas. Dependiendo de cuál sea el efecto dominante entre ambos (energía versus temperatura), aparecerán fases ferromagnéticas o no.
La magnetización del sistema es el valor medio de la
suma de los valores de los momentos magnéticos:
Esta magnetización puede calcularse utilizando
la colectividad canónica por medio de la función de partición
a partir de la cual se puede calcular la magnetización como:
Se puede comprobar fácilmente que la expresión (5) coincide con (3).
Para sistemas en dimensión 1, se puede calcular (4) y (5)
de forma sencilla, comprobándose que no existe transición de fase.
En dimensión 1 los efectos del desorden inducido por
la temperatura son siempre dominantes.
Sin embargo, en dimensión 2 y superiores sí que existe
la transición de fase.
En dos dimensiones, el cálculo de (4) y (5) es posible
aunque muy complicado (ver el libro de Huang). Se encuentra
que la temperatura de transición (cuando 
) está en:
En esta ecuación hemos definido
, que es el único
parámetro relevante al tomar .
El applet que hemos preparado realiza una simulación
Monte Carlo
del modelo de Ising bidimensional. Se puede elegir el tamaño de la
red desde 
hasta 
, así como el dato
inicial (espines +1 ó 
de forma aleatoria o bien todos fijados a ),
y la constante de interacción . Al pulsar 
comienza la simulación. En el panel de la izquierda se muestran
los espines (
en amarillo y en azul),
y en el de la derecha la magnetización.
La línea azul está localizada en la temperatura crítica .
Los simulaciones realizadas a temperaturas altas ( pequeño) relajan
rápidamente a su valor de equilibrio. Sin embargo, a temperaturas
bajas ( grande) puede tardar más, salvo que se parta de una
configuración con todos los espines con valor .
En temperaturas cercanas a la crítica, 
o 
,
la relajación es también muy lenta, dado que es un punto
crítico, con correlaciones de largo alcance y fluctuaciones muy importantes.