Experimento Interactivo 6 de Dispositivos Cuánticos

Estados electrónicos en una heterounión dopada

El dopado selectivo de una heterounión se puede realizar durante su crecimiento de manera relativamente sencilla, por ejemplo, Si en GaAs-Al_1-xGa_xAs. Ahora estudiaremos qué ocurre cuando existen impurezas en la barrera y cerca de la heterounión, que supondremos que son donadoras. Obviamente esta situación es inestable ya que los potenciales químicos en ambos semiconductores no coinciden dado que en en la barrera hay electrones pero no en el otro semiconductor. Entonces los electrones escapan de la barrera por efecto túnel, a pesar de que originalmente estaban ligados a las impurezas, para equilibrar los potenciales químicos de ambos semiconductores. Cuando esto ocurre, los electrones pierden rápidamente su energía (se termalizan en unos pocos picosegundos) mediante emisión de fonones. Lógicamente el proceso inverso de captura por la impureza es altamente improbable puesto que exigiría la absorción de muchos fonones por parte del electrón. De hecho esto es imposible a T=0 K (no hay fonones) y desde luego muy poco probable a temperatura ambiente, pues requeriría la participación de un elevado número de fonones, cuya energía es sólo de unos pocos meV. Por tanto, cuando dopamos la barrera se produce una separación de irreversible carga, quedando las impurezas ionizadas en la barrera y los electrones en el otro material. En consecuencia se forman dipolos entre los iones y los electrones que produce el pandeo de las bandas, según muestra la Fig. 1.

Figura 1: Transferencia de carga en una heterounión dopada. Cuando se alcanza el equilibrio térmico aparece el pandeo de las bandas, que es prácticamente triangular cerca de la heterounión.
 

Como se ve en la figura, se crea un pozo de potencial que, en primera aproximación, se puede considerar triangular. Entonces pueden aparecer estados confinados según la dirección de crecimiento siempre que el espaciado entre niveles sea mayor que la energía térmica o que las variaciones de energía debido a las colisiones. Se forma así un gas de electrones bidimensional próximo a la heterounión. Esto implica que en la dirección paralela al plano de la heterounión existe conducción eléctrica mientras que en la dirección perpendicular no es posible por los efectos de confinamiento del potencial triangular. La ventaja de este gas de electrones es que su movilidad es extremadamente alta porque no existen colisiones con impurezas, ya que estas se encuentran en otra región del espacio.

Es frecuente en muchos trabajos aproximar el potencial por una función lineal en la región del seminductor de intervalo prohibido más estrecho y asumir que la barrera entre ambos semiconductores es infinita. La función envolvente de un electrón satisface entonce la ecuación

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donde coordenada z es paralela a la dirección de crecimiento de la heteroestructura y K una constante positiva. La función envolvente debe anularse tanto en el origen, donde se sitúa la heterounión, como en infinito.

La ecuación resultante se puede resolver analíticamente mediante las funciones de Airy, o bien empleando el método numérico discutido en el Ejercicio 5. Por otra parte, también se puede emplear el cálculo variacional, utilizando como función de prueba aquella propuesta por Fan y Howard

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donde N(b) es la constante de normalización y b el parámetro variacional. El cálculo no es difícil y se obtiene la siguiente energía

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donde C=2.3448. El cálculo exacto mediante las funciones de Airy arroja un resultado muy similar C=2.338, lo que indica la bondad de la función de prueba.

Entra las muchas limitaciones del tratamiento de los estados electrónicos que hemos presentado se encuentra que se supone que la barrera es infinita. Esto es razonable en heterouniones Si0₂-Si, donde dicha barrera es del orden de 2eV, mucho mayor que la energía del nivel. Sin embargo, en heterouniones GaAs-Al_1-xGa_xAs la barrera es un orden de magnitud inferior y esta aproximación falla estrepitosamente. Para estudiar el error cometido podemos volver a emplear el cálculo numérico, teniendo en cuenta que la barrera tiene un valor finito.

En el caso de heterouniones Si0₂-Si, donde es correcto suponer que la barrera es infinita, la ecuación de Ben Daniel-Duke es universal, en el sentido de que se puede adimensionalizar de la siguiente manera

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donden las escalas de longitud y energía vienen definidas por

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En definitiva, basta resolver una sola vez la ecuación anterior y posterioremente deshacer los cambios introducidos.

Por el contrario, cuando la barrera es finita se introduce un parámetro más en el problema (energía de la barrera) y la ecuación resultante depende de los semiconductores que forman la heterounión. El valor de la constante K del potencial se puede relacionar con la densidad del gas de electrones bidimensional, n_2D, mediante la ley de Gauss. La densidad de carga es simplemente -en_2D, por lo que el campo que crea esta distribución el seminconductor de constante dieléctrica relativa  es

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y en consecuencia

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con

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En el caso de heterouniones de GaAs-Al_1-xGa_xAs la constante dieléctrica relativa tiene un valor de 13.2, por lo que finalmente

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donde n_2D se mide en unidades de 10¹¹cm².

Desarrollo del ejercicio

Pulsando sobre el botón se accede a un programa  que permite encontrar los niveles de energía tanto en la aproximación de barrera infinita como finita. En la gráfica de la izquierda se presenta la función envolvente exacta (línea verde) en la heterounión Si-SiO₂ y se compara con la función variacional (línea azul). Además se ofrecen los valores de las energías exacta y variacional. En la gráfica de la derecha se muestra la función envolvente exacta (línea verde) en el la heterounión GaAs-Al_1-xGa_xAs, donde se puede elegir la fracción de Al (barrera de altura finita) y se compara con la solución variacional (barrera de altura infinita).