Experimento Interactivo 2 de Dispositivos Cuánticos

Estados electrónicos en GaAs con dopado delta

El avance en la tecnología de materiales semiconductores ha permitido crecer cristales bastante perfectos y desarrollar nuevos tipos de estructuras semiconductoras, como son las heterouniones, pozos cuánticos y superredes ya mencionados. En particular, la epitaxia de haces moleculares permite crecer láminas delgadas con un gran control del espesor y del dopado. Es aquí donde se enmarcan las estructuras con dopados denominados tipo delta, en las cuales una fina lámina de impurezas con una anchura nominal de una capa atómica se intercala en la matriz del semiconductor, como se muestra en la Figura 1.
 

Figura 1: Estructura cristalina de una capa de Si tipo delta en GaAs.

De esta manera, al ionizarse las impurezas, se consigue una modulación de las bandas que origina un potencial de confinamiento de portadores en la dirección de crecimiento, muy parecido a un potencial casi triangular, como veremos más adelante. Los cálculos teóricos que se utilizan para describir la estructura de subbandas en microestructuras semiconductoras son variados, y van desde los más sofisticados de tipo densidad local hasta los más sencillos, pero no por ello menos precisos, de tipo Thomas-Fermi, pasando por cálculos de tipo Hartree.

El sistema que vamos a considerar consiste en una estructura semiconductora de GaAs con un dopado tipo delta de Si, que son donadores en GaAs. En el presente cálculo supondremos que el espesor de la capa de donadores es despreciable, de manera que forma un plano que lo situaremos en z=0. Supondremos además que la distribución de donadores ionizados en dicho plano es uniforme, hipótesis correcta en el régimen de altas concentraciones de dopado, que es el que interesa en aplicaciones tecnológicas. El potencial electrostático debido a las impurezas donadoras ionizadas y al resto de los electrones se puede obtener mediante la aproximación de Thomas-Fermi, que ofrece resultados extraordinariamente precisos en el límite de concentraciones altas (N_D=1-10 × 10¹²cm^-2), siendo N_D el número de donadores por unidad de área en el plano x=0. La ecuación para determinar el potencial de Thomas-Fermi V(z) es la siguiente

(1)

donde E_F es la energía de Fermi. Las distancias y energías están medidas en unidades del radio de Bohr efectivo a^*=100Å y Rydberg efectivo, Ry^*=5.8meV.

La hipótesis de que la distribución de donadores tiene un espesor despreciable presenta la ventaja de que la ecuación (1) es exactamente resoluble con la condición de contorno de que el potencial de Thomas-Fermi V(z) sea igual a la energía de Fermi lejos del plano de dopado, además de la condición que se obtiene al integrar dicha ecuación en torno a z=0, que implica dV(0⁺)/dz-dV(0^-)/dz=8 N_D. La solución es de la forma

(2)

donde hemos fijado el origen de energías de manera que E_F=0 y hemos definido los parámetros a=2/15 y x₀= (a³/ N_D)^1/5.

Como el resultado es un potencial atractivo para los electrones, éstos pueden ser confinados en la dirección del eje Z. Si omitimos el momento tranversal de los electrones, la ecuación de masa efectiva para la función de onda es, en las unidades que hemos elegido, la siguiente

(3)

Esta ecuación admite soluciones exactas, pero son difíciles de obtener. Por eso aquí vamos a optar por un método numérico, que tiene la ventaja de poderse utilizar en otros casos donde la ecuación de Schrödinger no tenga soluciones analíticas. Para ello nos damos cuenta de que el potencial decae rápidamente como |z|^-4 cuando nos alejamos del origen. Esto implica que podemos seleccionar un intervalo finito para integrar numéricamente la ecuación, sin que los resultados vayan a diferir mucho del resultado exacto. Esto será tanto más cierto cuanto más amplio sea el intervalo que seleccionemos. Como el potencial es simétrico en torno a z=0, elegimos un intervalo [-c,c] y lo dividimos en N segmentos, de forma que el paso de integración es s=2c/N. Así tenemos definida una serie discreta de puntos z_n=-c+sn, con n=0, 1,...,N, para discretizar la ecuación de Schrödinger

(4)

Imponemos las condiciones de contorno apropiadas a la colocación de barreras de potencial infinitamente altas en los extremos del intervalo de integración. La ecuación (4) es una ecuación de autovalores, donde la matriz H del Hamiltoniano discreto es tridiagonal y simétrica; los elementos de la diagonal son V_n+2/s² y los de la supradiagonal y subdiagonal son todos iguales a -1/s². Utilizando el método de la bisección se pueden encontrar con bastante aproximación los niveles de energía de los estados confinados.

Desarrollo del ejercicio

Pulsando sobre el botón se accede a un programa  permite determinar los niveles confinados en GaAs:Si en función de la densidad del dopado N_D.