Experimento Interactivo 7 de Dispositivos Cuánticos

Minibandas en una superred de semiconductores

La ténica de epitaxia por haces moleculares permite crecer no sóte pozos cuánticos y diodos túnel sino estructura más complejas como las superredes de semiconductores, que son apilaciones de pozos cuánticos acoplados mediante barreras estrechas. Cuando se acercan varios pozos cuánticos se produce un acoplamiento resonante entre los estados electrónicos de los pozos, de forma que los niveles se desdoblan y dan lugar a la aparición de minibandas. Se habla entonces de superredes, que presentan estados extendidos debido al efecto túnel resonante entre los pozos. El origen de las minibandas es exactamente el mismo que el de las bandas de energía en un sólido, donde en el caso de las superredes los niveles individuales no pertencen a un único átomo sino a un pozo cuántico. En este sentido la superred se comporta como un sólido artificial pero con una periodicidad mucho mayor (decenas o unos pocos cientos de Å) que la de cualquier sólido. Esta mayor periodicidad en el espacio real hace que la zona de Brillouin de la superred sea mucho más pequeña, y de ahí el nombre de minibandas. La modulación de la banda de conducción es similar al potencial del modelo de Kronig-Penney, como se muestra en la Figura 1.
 

Figura 1: Perfil del borde de la banda de conducción en una superred basada en pozos cuánticos de GaAs entre barreras de Al_1-xGa_xAs.

La función envolvente de un electrón satisface la ecuación

(1)

donde coordenada z es paralela a la dirección de crecimiento de la heteroestructura. El potencial se debe al desajuste de los bordes de las bandas de conducción en los distintos semiconductores -o de valencia si nos referimos a los huecos- y, por tanto, V(z)=0 en el pozo pozo cuántico (GaAs) y V(z)=V₀ en la barrera de potencial (Al_1-xGa_xAs). La masa efectiva m^*(z) toma el valor m_A en el pozo y m_B en la barrera. La condición de contorno en las superficies de separación de los distintos semiconductores se puede obtener integrando la ecuación anterior, como se expuso en el Ejercicio 1.

En el caso de tener una superred con un número muy elevado de pozos, cada uno de espesor d_p, separados por barreras de espesor d_b, existe un periodo bien definido L=d_b+d_p de forma que podemos aplicar el teorema de Bloch para hallar los estados electrónicos y las minibandas permitidas. En tal caso, la función de onda será de la forma X(z+L)=exp(iK_BlochL)X(z), donde K_Bloch es el momento cristalino en la superred. La solución de la ecuación (1) para estados con energías 0<E<V₀ en el intervalo [0,L] es de la forma

(2)

donde se han definido los parámetros

Los coeficientes p_± y b_±son constantes a determinar a partir de las condiciones de contorno en z=d_p. Teniendo en cuenta además que X(L)=exp(iK_BlochL)X(0), no es difícil llegar a la siguiente relación de dispersión

(3)

Los valores de la energía que hacen que k sea real pertenecen a una minibanda permitida. Por tanto, la condición para que una energía sea permitida es que el valor absoluto del lado derecho de la ecuación (3) sea menor que la unidad.

Desarrollo del ejercicio

El sistema elegido para hacer el estudio de las minibandas es una superred de GaAs-Al_1-xGa_xAs, donde la fracción de Al varía entre 0 y 0.45. Pulsando sobre el botón se accede a un programa  que permite visualizar los niveles de energía de los electrones. El programa permite seleccionar también el espesor de pozos (D_p) y barreras (D_b) en nm. Las energías permitidas obtenidas mediante (3) se comparan con aquellas que aparecen al considerar barreras muy estrechas y altas con el mismo valor del área (delta de Dirac). También se muestra la relación de dispersión para ambos modelos.